Тип публикации: статья из журнала
Год издания: 2025
Идентификатор DOI: 10.15507/2079-6900.27.202501.34-48
Ключевые слова: groupoid, endomorphism, Bipolar Type, bipolar classification of endomorphisms of a groupoid, fixed point, universal fixed point criterion, Riemann hypothesis on the zeros of the zeta function, Riemann zeta function, группоид, эндоморфизм, биполярный тип, биполярная классификация эндоморфизмов группоида, неподвижная точка, универсальный критерий неподвижной точки, гипотеза Римана о нулях дзета-функции, дзета-функция Римана
Аннотация: Fixed point criteria may be applied in various fields of mathematics. The problem of finding sufficient conditions for transformations of a certain class to have a fixed point is well known. In the context of element-wise description for the monoid of all endomorphisms of a groupoid, the following were formulated: a bipolar classifПоказать полностьюication of endomorphisms and related mathematical objects. In particular, the concept of a bipolar type of endomorphism of a groupoid (or simply a bipolar type) was stated. Every endomorphism of an arbitrary groupoid has exactly one bipolar type. In this paper, using bipolar types, a fixed point criterion for an arbitrary transformation of a nonempty set (hereinafter, the universal fixed point criterion) is formulated and proved. This criterion is not easy to apply. Further expansion of the range of problems to which this criterion can be applied depends directly on the success in studying the properties of groupoids’ endomorphisms. The paper formulates such general problems (unsolved for today), that the success in their study will expand the possibilities of using the universal fixed point criterion. The connection between the formulated problems and the obtained criterion is discussed. In particular, necessary and sufficient conditions for the Riemann hypothesis on the zeros of the Riemann zeta function to be satisfied are obtained using the universal fixed point criterion. Критерии неподвижной точки находят применение в различных областях математики. Хорошо известен интерес к проблеме нахождения достаточных условий того, что преобразование из некоторого класса имеет неподвижную точку. В контексте изучения проблемы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов группоида были сформулированы: биполярная классификация эндоморфизмов и сопутствующие математические объекты. В частности, было сформулировано понятие "биполярный тип эндоморфизма" группоида (или просто "биполярный тип"). Всякий эндоморфизм произвольного группоида имеет ровно один биполярный тип. В данной работе с помощью биполярных типов формулируется и доказывается критерий неподвижной точки произвольного преобразования некоторого непустого множества (далее универсальный критерий неподвижной точки). Данный критерий не является простым в применении. Дальнейшее расширение круга задач, к которым можно применять данный критерий, напрямую зависит от успехов в исследовании свойств эндоморфизмов группоидов. В работе формулируются открытые общие проблемы, успехи в исследовании которых расширят возможности применения универсального критерия неподвижной точки. Обсуждается связь между сформулированными проблемами и полученным критерием. Получены необходимые и достаточные условия того, что выполняется гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана. Эти условия получены с помощью универсального критерия неподвижной точки.
Журнал: Журнал Средневолжского математического общества
Выпуск журнала: Т.27, №1
Номера страниц: 34-48
ISSN журнала: 20796900
Место издания: Саранск
Издатель: Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, Межрегиональная общественная организация "Средне-Волжское математическое общество"